數學最難的問題與 AI 的邊界

Lex 問第一個真正棘手的數學問題；Terence Tao 以「針怎麼用最小面積轉向」帶出 Kakeya 猜想，並說明這個幾何問題怎麼連結到波動方程。

介紹千禧年大獎問題之一：水的流動方程式有沒有可能在有限時間內讓速度衝到無限大，也就是所謂的 blow-up。

他說明怎麼靠「先關掉幾個交互作用」簡化問題，甚至想像用水打造邏輯閘與圖靈機，理論上證明 blow-up 有可能發生。

他提出解題最重要的框架：一個數學物件不是有明顯的結構，就是表現得像隨機，兩種情況都能找到證明的切入點。

他把科學拆成現實、觀測與模型三塊，說明數學專門研究模型本身的推論，物理和工程則更在意觀測與現實的落差。

用「狐狸與刺蝟」比喻兩種數學家，自認是廣泛涉獵的狐狸型；也談歐拉恆等式為什麼被視為最美的方程式。

他回憶自己躺在親戚家地板上想像自己是場域，才找到把非線性效應轉直的座標變換，解出這條方程的全域正則性。

說明 Lean 怎麼把證明拆成能被電腦逐行檢驗的邏輯鏈，formalize 一篇論文目前要花上手寫十倍的時間，但換來能讓數十人同時協作。

他發起的群眾外包計畫，把 4000 條代數律兩兩配對出 2200 萬個問題，靠近 50 位協作者用 Lean 逐一驗證，幾乎全數解決。

談 AlphaProof 在國際數學奧林匹亞拿下等同銀牌的成績，但一題要花三天伺服器時間，也指出把自然語言轉成形式語言目前還很難。

他形容自己試著跟 AI 合作解已知答案的題目，過程「比自己做還累」，因為 AI 常寫出看起來漂亮卻走錯方向的證明，還沒有人類的數學嗅覺。

說明 Perelman 發明的一種 flow，能把一個扭曲的空間像灌氣球一樣逐漸灌成球體，又怎麼發明新的量把原本難解的問題轉成好處理的形式。

他解釋為什麼算術級數在質數裡「打不死」，但孿生質數猜想卻可能被刻意設計的反例推翻，這正是這個猜想特別難的原因。

談他長年想突破的奇偶障礙，以及為什麼黎曼猜想如果要被證明，一定得靠現在還沒人提出過的全新方法。

用冰雹形成的比喻解釋這個「除以二、乘三加一」的簡單規則，以及他證明的統計結果：幾乎所有數字最後都會往下降，但無法排除極端的例外。

他認為證據比較偏向 P 不等於 NP，並指出電腦科學家至少已經證明一大批方法注定行不通，這點比其他難題都更有進展。

談得獎後身分的轉變，以及 Perelman 拒絕費爾茲獎與百萬美元獎金的故事；也提到有人正用五年計畫把費馬最後定理的證明搬進 Lean。

他認為人腦沒有天生的數學中樞，每個人得靠視覺、語言或遊戲直覺這類既有能力來做數學，教育很難因材施教，建議多利用線上資源自己摸索。

他談自己怎麼從辦一場研討會一路栽進 Lean，也被問到誰是史上最偉大的數學家，以及卡關的時候該怎麼辦。

討論人類是否注定有理解不了的東西，他認為關鍵在於人早就靠語言、工具這些「擴增」自己，真正厲害的其實是整個數學社群的集體智慧。

他說對人類文明抱持希望，是因為年輕一代永遠充滿創造力；也坦言人生有限，最遺憾的是看不到未來兩百年的發展，最後兩人互相道謝作結。