從吸管的洞到質數的隨機模型

Lex 拿 Chomsky 的蛋糕比喻，問數學思考算哪一層。Ellenberg 說很難想像完全不靠語言做數學，但也說也許只是自己的習慣；談到 Bhaskara 那個據說只寫了「behold」的畢氏定理分割證明，他不確定圖像證明算不算語言。

他說幾何像香菜，大家對它不會沒感覺。他小時候盯著音響外殼上 6 乘 8 的洞，發現 6 列 8 個和 8 行 6 個是同一批 48 個洞，那一刻同時是代數也是幾何；他自己的專業是代數幾何。

對稱可以推廣到任何變換，例如把圖形垂直拉長兩倍、水平縮成一半。他認為近一百五十年的數學，核心之一就是「什麼時候把兩個東西視為相同」。

Lex 拿 MNIST 手寫數字問：所有的 2 為什麼算同一類？Ellenberg 說旋轉這類已知的對稱不夠，他會很意外有傳統對稱的公式能描述 2 和 3 的差別；兩人還爭論 2 變形成 3 的過程中有沒有明確界線。

Poincaré 成了書中的大角色；法國在普法戰爭戰敗後急著追上德國的數學，像是法國版的 Sputnik 時刻。Lex 接著談蘇聯社會對數學與科學的敬重；Ellenberg 推薦 Amir Alexander 的《Duel at Dawn》，講浪漫時代的氛圍如何塑造了年輕時死於決鬥的 Galois。

他說 Poincaré 為人正常、作息規律，為瑞典國王設的獎寫了三體問題的論文。兩個物體的軌道好分類，三個就成了混沌，初始條件的微小差異會讓長期行為完全不同；為了處理它，每個天體的位置與速度併成六維的相空間，這門學問當時叫 analysis situs，就是後來的拓撲。

猜想談的是彎曲的三維空間：任何繞圈的繩子都能收成一點，這個空間就是熟悉的標準三維空間。他用 Lex 給他的馬克杯示範，繞過杯把的繩圈收不起來；兩人接著談宇宙的形狀仍是宇宙學的開放問題，目前的主流看法是接近平的。

拓撲是內蘊的理論，馬克杯的問題不必離開杯面就能回答；住在打結的圈上和住在圓上，對裡面的人沒有差別，他說這不會讓他睡不著。兩人也試著想像住在 Möbius 帶或球面上會是什麼樣子。

他講 Flatland：球體穿過平面、把正方形拉出平面，而正方形想推到第四維時，球體反而不信。他認為額外維度「有可能」存在，但要問它們對看得到的東西有什麼影響，若毫無影響，問題就有點空。

零個、一個、兩個洞各有支持者，同一群人討論起來會吵得很兇。他用長褲換個更難的問題，女兒說長褲只有兩個洞，因為腰洞只是兩個褲管洞接在一起；現代的說法是洞有算術，吸管的兩個洞互為負值，並提到 Emmy Noether 讓這門學問有了現代的樣子。

寫數學書的難處是有些東西能真的在頁面上做，有些只能點到為止，他兩種都試。Lex 問起 3Blue1Brown，他說數學 YouTube 的興起很好：課堂人少但互動深，書籍和影片觸及更廣，每個人用自己的專長向外廣播。他也認為學界還沒學會重視計算工具的建構。

Lex 問電腦會不會拿菲爾茲獎，他先回「no」又笑說這像證明自己是人類的 captcha。他說從前算作研究的工作，現在幾行指令就能完成；AI 證明有趣定理至今成績不佳，但他剛看到一篇論文用神經網路成功找出猜想的反例，只是那些猜想並不有名。接著講 Conway 結的 slice 問題由 Lisa Piccirillo 解決，論文九頁、其中兩頁是圖，引出「難」到底指什麼。

Lex 問費馬最後定理；Ellenberg 說 Fermat 日後處理過特例，他認為 Fermat 自己也不知道怎麼證完整版。這個問題帶動了數論的發展：有人在找 19 世紀一份錯誤證明的毛病時，發現唯一分解在更一般的數系裡會失效，他說這是好事，因為多了新現象可研究。Lex 接著問 Wiles 的證明，他說核心是 deformation theory，Ellenberg 自己的博士指導教授 Barry Mazur 參與創建：把一個東西微微移動，掌握每個方向的細微變化，再拼出整個空間；論證歸結為證明兩個大空間相同，也就是 R = T。

距離不是上帝給的，英文裡「近親」的距離就跟住得近無關。2-adic 距離的算法是兩數之差是 2 的高次方倍數就算近，例如 1 和 49；Lex 聯想到二進位，Ellenberg 說正是如此，就像把二進位數倒過來寫，並說這是很好的比喻。

他引 Thurston 的文章，說數學不是有配額的定理工廠，證明新定理是檢驗，目標是理解。Lex 設想用「誰愛誰」當社會的距離；Ellenberg 轉到 AI，預測沒見過的案例一定在套某種距離，用字典序當字詞距離就會翻譯得很糟。

Lex 問「講不簡單就是沒懂」是否為真，他直說不是；其中的真話是解釋能幫助理解，但真實的東西少數簡單，多數不是。他說這句是不是 Feynman 說的有爭議，但他不認為 Feynman 會照字面相信；兩人接著談簡化的說法像詩，是不是解釋。

Erdős 說上帝有本天書，裡面收了每個定理最漂亮的證明，他自己不信上帝卻信這本書。Hilda Hudson 是虔誠的信徒，認為數學是人唯一能精確知道的上帝想法；Poincaré 則認為有些事複雜得超出人的能力，人的工作是弄懂不是那樣的部分。

質數是無法再分解的數，1 不算，這是定義的選擇而不是發現。他講了 Grothendieck 把 57 當質數的笑話；Fermat 的檢驗法是把 2 的 n 次方除以 n，餘數不是 2 就一定不是質數，餘數是 2 則大概是但不保證，他印象中最小的反例是 341。

質數有無窮多個，但愈大愈稀。孿生質數是否有無窮多組仍未解；相信有，是因為把質數當成隨機散布時，機率上會有無窮多組，他說這是「沒有深層結構」的信念。

Lex 說 Sam Harris 拿質數當沒有自由意志的例子；Ellenberg 說假裝質數隨機，是為了做出好猜測，免得去證明一件假的事。他也說把人當成有欲望、有目的的存在，即使不成立也更能理解他們。Lex 接著談機器人的性別與擬人化。

Lex 提到有限主義、極端有限主義與直覺主義。Ellenberg 說不是專家，並指出數學史大半時間對無窮採不表態的態度；Newton 的微積分曾被 Berkeley 譏為「消逝量的鬼魂」，卻確實有效。他說這類主張帶著計算的味道，在 1930、40 年代流行大概不是巧合。

Lex 問細胞自動機；Ellenberg 說他愛這個主題但沒做過研究，並談到用它生成紋理。Lex 覺得 Conway 的名氣不夠，Ellenberg 說他其實很有名，並描述 Conway 的玩心：把遊戲拿來做數學，也從數學做出遊戲，曾與 Knuth 合作創造 surreal numbers；他當博士後時向 Conway 問問題，得到的答案豐富卻常常離題。

生命遊戲的規則一行就寫得完：方格有出生與死亡，他認為 Conway 在 70 年代應該是用筆在方格紙上玩；現在用 iPad 的 Golly 能快轉上萬代。他說隨便挑的規則不會有有趣的複雜度。Lex 談 Wolfram 的 Rule 30 挑戰，Ellenberg 則說 Conway 對生命遊戲心情複雜，因為他有更深的成果，卻被當成「生命遊戲的那個人」。

群論是對稱的一般理論：人有 2 種對稱、長方形 4 種、正方形 8 種，一副牌的洗法也是群。Lex 問規範對稱；他說自己不是數學物理學家，只能說相對論前後，是對「哪個對稱群才是對的」改了看法，原本看似物體變形的現象，其實是弄錯了什麼才算對稱。

Lex 抱怨拓撲都是公式、缺乏視覺；Ellenberg 說自己看 Hopf 纖維化的圖沒感覺，換成「四元數的子群」才懂，並反對有單一正確的教法。Lex 認為被迫公開說明能激發創意；他則用散文與詩比喻，詩是一種壓縮。

Lex 問起證明了猜想的 Grigori Perelman。他說證明的巧妙在於要研究的不是這個三維空間，而是「所有三維幾何的空間」。讓未知的空間依 Ricci flow 演化，若從頭到尾沒有尖點，最後就停在標準空間；他說這不是他的研究領域，就他的理解，難處在證明不出現奇點。他也強調這是 Richard Hamilton 等許多人累積的成果。

Lex 問怎麼看有人婉拒菲爾茲獎；Ellenberg 說獎在靈性層面不重要，但多數人還是會收，他不清楚當事人的理由。Lex 說 Perelman 本人沒講清楚，他猜是不滿獎項、階層與名聲那一套，還有美國式的個人主義。他順勢談國際數學奧林匹亞：比的是速度與已有答案的題目，不像真正的數學；他在 1987 年第一次參加，地點在哈瓦那。

沒有單一答案，要認識自己：直接讀教科書、讀 Martin Gardner 的專欄、做競賽題，或看影片。他在研究所想休一年讀完 1500 頁的 EGA，Joe Harris 說這個點子很蠢，因為你是遇到問題才會去學；他的結論是讓在乎的問題帶著學。Lex 談自己討厭跑步卻享受完成後的感覺，兩人以 Goggins 與吃熱狗比賽收尾。

他常跟學生說：面對自我懷疑，做決定時選「高自尊」的那個選項，想像毫不懷疑的自己會怎麼做。他補充並不是叫人沒有懷疑，只是有時要像沒有懷疑的人那樣行動。

Lex 問數學能不能談生命的意義。Ellenberg 先開玩笑說「去問拉比」，接著說 Pascal 常被誤解成用數學證明上帝；他說 Pascal 相信上帝是因為一次神祕體驗，賭注論證只是談行為的理由。Lex 的結語是享受就好；兩人最後談書首那張把所有主題連起來的圖。